MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
MEDIA ARITMÉTICA:
El principal resumen que se
puede hacer de una colección de datos es el promedio al que llamaremos media aritmética. Su
cálculo se basa en la magnitud de los
datos
Aunque es una medida de
cálculo sencillo la información brindada por el número por si sola no es del todo confiable, dice
poco de la distribución de los datos. Por ejemplo si decimos que el rendimiento
académico de un grupo es de 2 y lo clasificamos como insuficiente,
individualmente existirán estudiantes que superaron el logro y la valoración de
2. Así como existen estudiantes por debajo de esta valoración. La media aritmética es un resumen muy bueno,
pero no da los detalles. El cálculo de la media aritmética depende de la forma
como este dada la distribución de los datos, por eso el cálculo se lo hace de
dos formas diferentes:
1.
MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS:
Se calcula sumando todos los
datos y dividiendo por el número total de ellos.
Sean X1, X2, X3,…Xn datos no agrupados de una distribución
numérica.
Si los datos enteros son
pocos y se pueden ordenar en una tabla de frecuencias absolutas .
MEDIA
PARA DATOS AGRUPADOS:
Hace
referencia a la media calculada para los datos organizados en una distribución
de frecuencias, que por lo general corresponden a datos de tipo continuo, y en
una cantidad que exceden a 20 datos. Para el cálculo de la media para datos
agrupados definamos primero que es una marca de clase
MARCAS DE
CLASE:
Es el punto medio de cada intervalo
de clase, la denotaremos como Xi ..
Sea [a b] los datos en el intervalo de clase,
entonces la marca de clase se define como:
SUBMUESTRAS:
Si
se quiere dividir la muestra total de una población en varias submuestras y se
hace necesario el cálculo total de la media
Donde
|
n =
n1 + n2 + ...+ nn
|
PROPIEDADES
DE LA MEDIA ARITMÉTICA:
1. La media es única
2. El cálculo de la media es sencillo y de fácil
comprensión
3. Cuando existen datos extremos suficientemente
distantes de la mayoría de los datos la media no es una medida muy confiable.
MEDIANA:
Determina
la posición central que ocupa un dato en el orden de su magnitud, dividiendo la
información en dos partes iguales, dejando igual número de datos por encima y
por debajo de ella.
MEDIANA
PARA DATOS NO AGRUPADOS:
Si
los datos no están agrupados y la distribución de datos es impar, entonces la
mediana es el dato central.
Si
el número de datos es impar, el dato central de la distribución organizada en
forma ascendente o descendente es la mediana.
X1, X2,
X3, X4, ... , Xn n Impar
Me=
Xi , donde Xi representa el dato central
Si
el número de datos es par, el promedio de los datos centrales corresponde al
valor de la mediana.
X1, X2, X3,
X4, ... , Xn n par
Me=
, donde Xi, Xj representan Los datos centrales
MEDIANA
PARA DATOS AGRUPADOS:
Dónde:
Li =
Limite real inferior a la clase mediana
n = Es el
tamaño de la muestra o población
Fa =
Frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
C = Ancho
del intervalo
f=
Frecuencia observada en la clase mediana
CLASE MEDIANA:
Se
entiende por clase mediana al primer intervalo de clase que contiene en las
frecuencias acumuladas el valor de n /2, siempre que el número de intervalos
sea par, de lo contrario la clase mediana es el intervalo central.
LOS CUANTILES:
Son
medidas derivadas de la mediana, e intentan medir en valores de proporción más
pequeña que la mediana misma a una
muestra. Los cuantiles se dividen en:
1.
Cuartiles
2.
Deciles
3.
Percentiles
4.
Quintiles
CUARTILES:
Los
cuartiles son valores posiciónales. Son
medidas de tendencia central que
dividen la distribución de datos en cuatro partes iguales. Muestra la
importancia de la cuarta parte de la muestra analizada. Se simboliza con Q.
El primer
cuartil deja el 25% de la información por debajo de él, y el 75% por encima, el
segundo cuartil, al igual que la mediana, divide la información en dos partes
iguales, y por último el tercer cuartil deja el 75% por debajo de sí, y el 25%
por encima.
Gráficamente:
|
0%
25% 50% 75%
|
Se
necesita, entonces calcular tres cuartillas ya que la cuarta queda
automáticamente determinada.
CUARTIL 1: Q1
Representa
el 25% de la muestra tomada. Por encima de este valor esta el 75% de los
valores de una distribución.
CUARTIL 2: Q2
Se
obtiene cuando K = 2; representa el 50% de la muestra tomada. Por encima de
este valor esta el 50% de los valores de una distribución.
CUARTIL 3: Q3
Se
obtiene cuando K = 3; representa el 75% de la muestra tomada. Por debajo de
este valor esta el 25% de los valores de una distribución.
DECILES:
Se
definen como la medida de tendencia
central que divide la distribución de
datos en diez partes iguales. Muestra la importancia de la décima parte de la
muestra analizada. Se simboliza con D.
PERCENTILES:
Se
definen como la medida de tendencia
central que divide la distribución de
datos en cien partes iguales. Muestra la importancia de la centésima parte de la muestra analizada. Se simboliza
con P.
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